pengertian matriks


MATRIKS


1.1.PENGERTIAN

Beberapa pengertian tentang matriks :
1.       Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
2.       Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.
3.       Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom. Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen matriks. Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital. Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.
Bentuk umum :
 A = 
 elemen matriks pada baris 1, kolom 1
 elemen matriks pada baris 1, kolom 2
 elemen matriks pada baris 1, kolom 3
  .
  .
  . elemen matriks pada baris m, kolom n
Contoh :
B =
Ordo matriks B adalah B2 x 3
 - 4
 6
Notasi yang digunakan:






















 

                                    Atau                             Atau







 


1.2.NOTASI MATRIKS

Matriks kita beri nama dengan huruf besar seperti A, B, C, dll. Matriks yang mempunyai I baris dan j kolom ditulis A= ( aij ), artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya aij  dimana indeks I menyatakan baris ke I dan indeks j menyatakan kolom ke j dari elemen tersebut.
Secara umum :
Matriks A= ( aij ), i= 1, 2, 3,…..m dan j= 1, 2, 3,……., n yang berarti bahwa banyaknya baris m dan banyaknya kolom n.


Double Bracket: -1         -3

2         12
 

Double Bracket: 2   3   12   -1Double Bracket: -3

-4Contoh :
                        A=                                  B=                    C=


Ukuran matriks
2 x 2
2 x 1
1 x 4
Jumlah baris
2
2
1
Jumlah kolom
2
1
4

Matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut MATRIKS BARIS, sedangkan matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut MATRIKS KOLOM. Dua buah matriks A dan B dikatakan SAMA jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij = bij  untuk setiap i dan j

1.3.JENIS-JENIS MATRIKS KHUSUS

Berikut ini diberikan beberapa jenis matriks selain matriks kolom dan matriks baris

(i)           MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol
Sifat-sifat :
1.      A+0 = A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
2.      A*0 = 0, begitu juga 0*A=0.

(ii)         MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut.
Contoh : Matriks berukuran 2x2


Double Bracket: 1         0
2         3
 

                           A=                              


(iii)       MATRIKS BUJURSANGKAR ISTIMEWA
a.       Bila A dan B merupakan matriks-matriks bujursangkar sedemikian sehingga AB=BA maka A dan B disebut COMMUTE (saing).
b.      Bila A dan B sedemikian sehingga AB=-BA maka A dan B disebut ANTI COMMUTE.
c.       Mtriks M dimana Mk+1=M untuk k bilangan bulat positif disebut matriks PERIODIK.
d.      Jika k bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga Mk+1=M maka M disebut PERIODIK dengan PERIODE k.
e.       Jika k= 1 sehingga M2=M maka M disebut IDEMPOTEN.
f.         Matriks A dimana Ap= 0 untuk p bilangan bulat positif disebut dengan matriks NILPOTEN.
g.      Jika p bilangan positif bulat terkecil sedemikian hingga Ap= 0 maka A disebut NILPOTEN dari indeks p.

(iv)       MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol.
Double Bracket: 1         0        0
0         2        0
0         0        3Contoh :
                          
A=



(v)         MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.
Contoh :


Double Bracket: 1         0        0
0         1        0
0         0        1
 

                          
A=


Sifat-sifat matriks identitas :
1.      A*I=A
2.      I*A=A

(vi)       MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.


Double Bracket: 4         0        0
0         4        0
0         0        4
 

Contoh :
A=
(vii)     MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0.


Double Bracket: 1         0        0        0
4         2        0        0
1         2        3        0
1         3        2        1
 


A=                                                



(viii)    MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks   bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0.


Double Bracket: 1         3        2        1
0         1        2        3
0         0        4        0
0         0        0        1
 


A=                                                        



(ix)       MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.





Double Bracket: 1         2         0
2         3         1
0         1         1
Double Bracket: 1         2         0
2         3         1
0         1         1

 

Contoh :
                           A=                                      dan AT=



(x)         MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT= -A dan aij = -aij, elemen diagonal utamanya = 0

Double Bracket:  0       -1         3       0
 1         0       -4      -2
 -3        4        0       1
 0        -2       -1       0  1Double Bracket:  0         1       -3       0
-1         0        4       2
 3        -4        0      -1
0          2        1       0  1Contoh :

                           A=                                          maka AT =
(xi)       MATRIKS TRIDIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen-elemennya = 0 kecuali elemen-elemen pada diagonal utama serta samping kanan dan kirinya.

Double Bracket: 1         2        0       0
1         2        3       0
 0        2        3       4 
0         0        4       5  1Contoh :

                           A=



(xii)     MATRIKS JODOH Ā, adalah jika A matriks dengan elemen-elemen bilangan kompleks maka matriks jodoh Ā dari A didapat dengan mengambil kompleks jodoh (CONJUGATE) dari semua elemen-elemnya.

Double Bracket: 2-3i         -2i
   5          3+iDouble Bracket: 2+3i          2i
   5           3-iContoh :
                           A=                                  maka Ā=


(xiii)   MATRIKS HERMITIAN. Matriks bujursangkar A= ( aij ) dengan elemen-elemen bilangan kompleks dinamakan MATRIKS HERMITIAN jika (Ā)'=A atau matriks bujursangkar A disebut hermitian jika aij = āij . dengan demikian jelas bahwa elemen-elemen diagonal dari matriks hermitian adalah bilangan-bilangan riil.

Contoh :







Double Bracket: 2            5+i
5-i              3


Double Bracket: 2            5-i
5+i           3



Double Bracket: 2            5+i
5-i              3


 

               A=                              maka                                 dan Ā'=





1.4.OPERASI PADA MATRIKS

Ø  PENJUMLAHAN MATRIKS

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A= ( aij ) dan B=( bij ) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C= ( cij ) dimana ( cij ) = ( aij ) +( bij ) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya ( cij ) = ( aij ) +( bij )

Contoh :








Double Bracket: 3        1
4        2
Double Bracket: 0        2
1        3
Double Bracket: 1     0     2
1     0     5
 

             A=                          B=                          C=                               maka










Double Bracket: 3        1
4        2
Double Bracket: 0        2
1        3
Double Bracket: 3+0        1+2
4+1        2+3
Double Bracket: 3        3
5        5
 

A+B =                           +                               =                                   =






Double Bracket: 3        1
4        2
Double Bracket: 1     0     2
1     0     5
 

            A+C =                          +                    

           
            A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan B mempunyai ukuran yang tidak sama.








Ø  PENGURANGAN MATRIKS

Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berlainan maka matriks hasil tidak terdefinisikan.


Contoh :





Double Bracket: 3        4
4        5
Double Bracket: 0        2
3        4
 

            A=                               B=                         maka











Double Bracket: 3-0        4-2
4-3        5-4

Double Bracket: 3        4
4        5
Double Bracket: 0        2
3        4

Double Bracket: 3        2
1        1

 

       A-B =                        -                        =                                  =


















Ø  PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=( aij ) maka matriks kA=( kaij ) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C] = k[A] = [A] k dan ( cij ) = ( kaij )

Contoh :





Double Bracket:  1         2        3
 0       -1         5


Double Bracket: 2* 1         2*2       2* 3
2* 0         2*-1      2*5
 

            A=                                            maka  2A=


Pada perkalian skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B) = Ka + kB.


Contoh :





Double Bracket: 0        1
2       -1
Double Bracket: 3        4
1        1
 

            A=                         B=                                        dengan k=2, maka

            K(A+B) = 2 (A+B) = 2A+2B















Double Bracket: 3        5
3        0
Double Bracket: 6      10
6        0


 

            2(A+B) = 2                              +                            = 2                       =









Double Bracket: 0        1
2       -1
Double Bracket: 3        4
1        1
Double Bracket: 6      10
6        0
 

            2A+2B = 2                         +  2                        =                




Ø  PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

Beberapa hal yang perlu diperhatikan :
  1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif.
  2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
  3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C= ( cij ) berukuran mxn dimana
cij  = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ………………….+ aipbpj







Double Bracket: 3
1
0

Double Bracket: 3       2      1

 

     Contoh :  1)      A=                         dan B=            maka











Double Bracket: 3
1
0

Double Bracket: 3       2      1

Double Bracket: (3*3)  +  (2*1)  +  (1*0)
Double Bracket: 11


 


                 A x B  =                           *            =                                               =








Double Bracket: 3        2       1
1        2       1
Double Bracket: 3
1
0

 

                    2)       A=                                 dan    B=              maka




Double Bracket: (3*3) + (2*1) + (1*0)
(1*3) + (2*1) + (1*0)
 

Double Bracket: 11
5                          
    A x B =                                                =






Beberapa Hukum Perkalian Matriks :
  1. Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
  2. Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
  3. Tidak Komutatif, A*B ¹ B*A
  4. Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
(i)   A=0 dan B=0
(ii)  A=0 atau B=0
(iii) A¹0 dan B¹0
  1. Bila A*B = A*C, belum tentu B = C


This entry was posted in

Leave a Reply