Teorema Bayes, diambil dari nama Rev. Thomas Bayes, menggambarkan hubungan
antara peluang bersyarat dari dua kejadian A dan B sebagai
berikut:
|
P(A | B)
=
|
P(B | A) P(A)
|
|
P(B)
|
or
|
P(A | B)
=
|
P(B | A) P(A)
|
|
P(B | A)P(A)
+ P(B | A)P(A)
|
Contoh aplikasi dari Teorema Bayes
Di sebuah negara,
diketahui bahwa 2% dari penduduknya menderita sebuah penyakit langka. 97% dari
hasil tes klinik adalah positif bahwa seseorang menderita penyakit itu. Ketika
seseorang yang tidak menderita penyakit itu dites dengan tes yang sama, 9% dari
hasil tes memberikan hasil positif yang salah.
Jika sembarang orang
dari negara itu mengambil test dan mendapat hasil positif, berapakah peluang
bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu?
Secara sepintas, nampaknya
bahwa ada peluang yang besar bahwa orang itu memang benar-benar menderita
penyakit langka itu. Karena kita tahu bahwa hasil test klinik yang cukup akurat
(97%). Tetapi apakah benar demikian? Marilah kita lihat perhitungan
matematikanya.
Marilah kita lambangkan
informasi di atas sebagai berikut:
- B = Kejadian tes memberikan
hasil positif.
- B = Kejadian tes memberikan
hasil negatif.
- A = Kejadian seseorang
menderita penyakit langka itu.
- A = Kejadian seseorang
tidak menderita penyakit langkat itu.
Kita ketahui juga
peluang dari kejadian-kejadian berikut:
- P (A) = 2%
- P (A) = 98%
- P (B | A) = 97%
- P (B | A) = 9%
Dengan menggunakan rumus
untuk peluang bersyarat, dapat kita simpulkan peluang dari kejadian-kejadian yang
mungkin terjadi dalam tabel di bawah ini:
|
A (2%)
|
A (98%)
|
|
|
B
|
Positif yang benar
P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 97% = 0,0194 |
Positif yang salah
P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 98% × 9% = 0,0882 |
|
B
|
Negatif yang salah
P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 3% = 0,0006 |
Negatif yang benar
P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 98% × 91% = 0,8918 |
Misalnya seseorang
menjalani tes klinik tersebut dan mendapatkan hasil positif, berapakah peluang
bahwa ia benar-benar menderita penyakit langka tersebut?
Dengan kata lain, kita
mencoba untuk mencari peluang dari A, dimana B atau P (A | B).
Dari tabel di atas,
dapat kita lihat bahwa P (A | B) adalah peluang dari positif yang benar dibagi
dengan peluang positif (benar maupun salah), yaitu 0,0194 / (0,0194 + 0,0882) =
0,1803.
Kita dapat juga
mendapatkan hasil yang sama dengan menggunakan rumus teorema Bayes di atas:
|
P(A | B) =
|
P(B ∩ A)
|
|
P(B)
|
|
|
=
|
P(B | A) × P(A)
|
|
P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)
|
|
|
=
|
97% × 2%
|
|
(97% × 2%) + (9% × 98%)
|
|
|
=
|
0.0194
|
|
0.0194 + 0.0882
|
|
|
=
|
0.0194
|
|
0.1076
|
|
|
P(A | B) =
|
0.1803
|
Hasil perhitungan ini
sangat berbeda dengan intuisi kita di atas. Peluang bahwa orang yang mendapat
hasil tes positif itu benar-benar menderita penyakit langka tidak sebesar yang
kita bayangkan. Cuma ada sekitar 18% kemungkinan bahwa dia benar-benar menderita
penyakit itu.
Mengapakah
demikian?
Ketika mengira-ngira
peluangnya, seringkali kita lupa bahwa dari seluruh populasi negara itu, hanya
2% yang benar-benar menderita penyakit langka itu. Jadi, walaupun hasil tes
adalah positif, peluang bahwa seseorang menderita penyakit langka itu tidaklah
sebesar yang kita bayangkan.
Kita bisa juga meninjau
situasi di atas sebagai berikut. Misalnya populasi negara tersebut adalah 1000
orang. Hanya 20 orang yang menderita penyakit langka itu (2%). 19 orang dari
antaranya akan mendapat hasil tes yang positif (97% hasil positif yang benar).
Dari 980 orang yang tidak menderita penyakit itu, sekitar 88 orang juga akan
mendapat hasil tes positif (9% hasil positif yang salah).
Jadi, 1000 orang di
negara itu dapat kita kelompokkan sebagai berikut:
- 19 orang mendapat hasil tes
positif yang benar
- 1 orang mendapat hasil tes
negatif yang salah
- 88 orang mendapat hasil tes
positif yang salah
- 892 orang mendapat hasil tes
negatif yang benar
Bisa kita lihat dari
informasi di atas, bahwa ada (88 + 19) = 107 orang yang akan mendapatkan hasil
tes positif (tidak perduli bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu
atau tidak). Dari 107 orang ini, berapakah yang benar-benar menderita penyakit?
Hanya 19 orang dari 107, atau sekitar 18%.
.jpg)
